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南京信息工程大學碩士研究生招生入學考試

考試大綱

 

科目代碼:T65

科目名稱:數學分析

 

第一部分  目標與基本要求

1. 掌握數學分析的基本概念,了解數學分析的發展歷史,掌握科學的思想和方法;

2. 掌握數學分析的基本方法,具備嚴謹的數學語言表達能力、邏輯思維能力與數學運算能力,養成認真、求實、勤奮良好的教學科研精神與學風;

3. 掌握數學分析的基本理論,培養抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及運算能力,養成反思和獨立思考的習慣,為后繼課程學習打下堅實的基礎;

4. 培養建立數學模型的能力以及綜合運用數學分析知識去分析和解決問題的能力,體會和領悟數學的簡潔性與深刻性,提高數學思維能力和科學素養,具備一定的科學研究能力。培養反思及自主學習能力。

 

第二部分 內容與考核目標

一、實數集與函數

1 理解實數集及其性質   2 掌握確界定義與確界原理   3 掌握函數概念   4掌握有某些特性的函數(有界函數、單調函數、奇函數與偶函數、周期函數)

 

二、數列極限

1 掌握數列極限概念   2 掌握收斂數列的性質(唯一性、有界性、保號性、不等式性、迫斂性、四則運算)   3 掌握數列極限存在的條件:包括單調有界定理與柯西(Cauchy)準則

 

三、函數極限

1 掌握函數極限概念   2 掌握函數極限的性質(唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性、迫斂性、四則運算)   3掌握 函數極限存在的條件:包括歸結原則(Heine 定理),單調有界定理與柯西準則   4 掌握兩個重要極限   5 掌握無窮小量,無窮大量, 理解非正常極限,掌握階的比較,掌握曲線的漸近線

 

四、函數的連續性

1 掌握連續性概念,間斷點及其分類   2 掌握連續函數的性質(有界性、保號性、連續函數的四則運算、理解復合函數的連續性、理解反函數的連續性;閉區間上連續函數的有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致連續性)3 理解實數集完備性的基本定理的應用   4 掌握初等函數的連續性

 

五、導數與微分

1 掌握導數的概念   2 掌握求導法則   3 掌握微分概念   4 掌握高階導數與高階微分   5掌握參量方程所確定的函數的導數

 

六、微分中值定理及其應用

1 掌握中值定理(羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理)   2掌握不定式極限    3 掌握泰勒公式(及其皮亞諾余項與拉格朗日余項、一些常用初等函數的泰勒展開式、了解應用于近似計算)   4 掌握函數的單調性、極值、最大值與最小值   5掌握函數的凸性與拐點    6 理解函數圖象的討論

 

七  不定積分

1掌握原函數與不定積分概念,基本積分公式   2 掌握換元積分法與分部積分法   3 掌握有理函數和可化為有理函數的積分

 

八、定積分

1掌握定積分的概念及其幾何意義   2 掌握可積條件的應用(包括必要條件,可積準則),掌握三類可積函數   3 掌握定積分的性質(線性運算法則、區間可加性、不等式性質、絕對可積性,積分中值定理)   4 掌握微積分學基本定理,定積分的分部積分法與換元法

 

九、反常積分

1掌握無窮限反常積分概念、柯西準則,絕對收斂與條件收斂    2掌握無窮限反常積分收斂性判別法:比較判別法及p-函數判別法,狄利克雷(Dirichlet)判別法,阿貝爾(Abel)判別法    3掌握無界函數反常積分概念,無界函數反常積分比較判別法及p-函數判別法

 

十、定積分的應用

1 掌握平面圖形的面積   2 掌握由截面面積求體積、旋轉體的體積   3 掌握曲線的弧長與了解曲率   4 掌握旋轉曲面的面積

 

十一、數項級數

1 掌握級數收斂的概念,柯西收斂準則,收斂級數的性質    2 掌握正項級數收斂判別法(比較判別法、p-級數判別法、比式與根式判別法、積分判別法)    3 掌握一般項級數的絕對收斂與條件收斂、交錯級數的萊布尼茲判別法,阿貝爾(Abel)判別法與狄利克雷(Dirichlet)判別法,理解絕對收斂級數的性質

十二、函數列與函數項級數

1 掌握函數列與函數項級數的一致收斂性,柯西準則,函數項級數的維爾斯特拉斯(Weierstrass)優級數判別法,狄利克雷(Dirichlet)判別法,阿貝爾(Abel)判別法   2 掌握函數列極限函數與函數項級數和函數的連續性、可積性、可微性

 

十三、冪級數

1 掌握冪函數的收斂性,阿貝爾定理,收斂半徑與收斂域,內閉一致收斂性,和函數的分析性質   2 掌握函數的冪級數展開

 

十四、傅里葉級數

1 理解傅里葉級數的概念,三角函數系的正交性   2 掌握以2L為周期的函數的展開式,奇式與偶式展開   3 了解收斂定理的證明

 

十五、多元函數的極限與連續

1理解平面點集與多元函數    2 掌握二元函數的極限,重極限與累次極限   3 理解二元函數的連續性,有界閉域(集)上連續函數的性質

 

十六、多元函數的微分學

1掌握偏導數與全微分概念,可微性   2 掌握復合函數微分法,高階導數,高階微分,混合偏導數與其順序無關性   3 掌握方向導數與梯度  4 掌握泰勒公式與極值問題

 

十七、隱函數定理及其應用

1理解隱函數的概念,隱函數定理   2掌握隱函數組定理,隱函數組求導、反函數組與坐標變換,函數行列式及其性質   3 掌握幾何應用(空間曲線的切線與法平面,曲面的切平面與法線)   4 掌握條件極值與拉格朗日乘數法

 

十八、含參量積分

1 掌握含參量正常積分,連續性、可積性與可微性    2 掌握含參量反常積分的收斂與一致收斂,柯西準則,維爾特拉斯(Weierstrass)判別法,狄利克雷(Dirichlet)判別法,阿貝爾(Abel)判別法,含參量無窮積分的連續性,可積性與可微性        3 理解歐拉積分

 

十九、曲線積分

1掌握第一型曲線積分的概念,性質和計算公式     2掌握第二型曲線積分的概念,性質和計算公式,兩類曲線積分之間的關系

 

二十、重積分

1 掌握二重積分概念與性質   2 掌握二重積分的計算(化為累次積分),二重積分的換元法(極坐標與一般變換)  3. 掌握格林(Green)公式,曲線積分與路線的無關性        3 掌握三重積分的概念與計算,三重積分的換元法(柱坐標、球坐標與一般變換)  4 理解重積分的應用(體積、曲面面積等)

 

二十一、曲面積分

1理解第一型曲面積分的的概念與計算    2掌握第二型曲面積分的概念與計算,理解兩類曲面積分之間的關系    3掌握高斯(Gauss)公式,斯托克斯(Stokes)公式

第三部分  有關說明與實施要求

1.基本要求:掌握數學分析中的基本概念,理解考試范圍內的各種微積分思想,掌握處理問題分析的基本方法、基本原理,具有運用數學分析方法解決實際問題的基本能力。

2.命題說明:分值比例:“了解”占15%,“理解”占40%,“掌握”占45%;題型為解答題和證明題。

3.參考書目:

(1)梅加強, 數學分析, 高等教育出版社, 2011.

(2)裴禮文,數學分析中的典型問題與方法(第二版),高等教育出版社, 2006.

(3)華東師范大學數學系編,數學分析(第四版),高等教育出版社, 2013.

4. 其他規定:考試方式為閉卷筆試,總分100分,考試時間為120分鐘。

 

 

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