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貴州師范大學2018年碩士研究生入學考試大綱    (初試)

(科目:601高等數學(化生地類))

一、考查目標

考生應按本大綱的要求了解或理解掌握“高等數學”中函數、極限和連續、一元函數微分學、一元函數積分學和多元函數微積分初步、無窮級數、空間解析幾何初步、常微分方程的基本概念與基本理論;要求考生系統掌握該課程的基本知識、基礎理論和基本方法。同時應注意各部分知識結構及知識的內在聯系;應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力;能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地判斷和證明,準確地計算;能綜合運用所學知識分析并解決相關的實際問題。

二、考試形式與試卷結構

(一)試卷成績及考試時間

本試卷滿分為150分,考試時間為180分鐘。

(二)答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

(三)試卷內容結構

各部分內容所占分值為:

1.函數、極限與連續約15分

2.導數與微分、微分中值定理與導數的應用約30分

3.不定積分、定積分約30分

4.無窮級數約15分

5.空間解析幾何約6分

6.多元函數微分法及其應用約18分

7.重積分及其應用約18分

8.常微分方程約18分

(四)試卷題型結構

1.填空題:10小題,每小題3分,共30分

2.計算題:8大題,每大題15分,共120分

三、考查范圍

(一)函數

1. 函數

數集、區間和鄰域;函數概念;函數表示法;建立函數關系。

2. 函數的一些簡單性態

函數的有界性;函數的單調性;函數的奇偶性;函數的周期性。

3. 反函數與復合函數

反函數;復合函數。

4. 初等函數

基本初等函數及其圖形;初等函數;初等函數的作圖。

(二)極限與連續

1. 數列及其極限

數列;數列極限;收斂數列的性質與運算法則。

2. 函數極限

自變量趨于無窮大時的函數極限;自變量趨于有限值時的函數極限;函數極限的性質;無窮小量及其運算。

3. 極限的運算和兩個重要極限

極限的四則運算;兩個重要極限;無窮小量的比較。

4. 連續函數

函數的連續性;間斷點及其分類;連續函數的運算和初等函數的連續性;閉區間上連續函數的性質。

(三)導數與微分

1. 導數概念

導數的定義;導函數;導數的意義;可導性和連續性的關系。

2. 求導法則

導數的四則運算;反函數的導數;復合函數的導數;基本初等函數的導數公式與求導法則;導數應用。

3. 隱函數、參變量函數的導數和高階導數

隱函數的導數;參變量函數的導數;高階導數。

4. 微分

微分概念;微分的基本公式與運算法則;微分在近似計算中的應用。

(四)微分中值定理與導數的應用

1. 微分中值定理

2. 不定式極限

型不定式極限; 型不定式極限;其他類型不定式極限。

3. 函數的單調性和極值

函數單調性的判別法;函數極值的判別法;函數的最大值與最小值。

4. 函數圖形的討論

曲線的凸性與拐點;曲線的漸近線;函數作圖。

(五)不定積分

1. 不定積分概念與基本積分公式

原函數與不定積分;基本積分表;不定積分的線性性質。

2. 換元積分法

第一類換元積分法:第二類換元積分法。

3. 分部積分法

4. 特殊類型初等函數的不定積分

有理函數的不定積分;三角函數有理式的不定積分;簡單無理函數的不定積分。

(六)定積分

1. 定積分概念

定積分的定義;定積分的幾何意義。

2. 定積分的基本性質

3. 牛頓-萊布尼茨公式

積分上限函數及其導數;牛頓-萊布尼茨公式。

4. 定積分的換元積分法與分部積分法

定積分的換元積分法;定積分的分部積分法。

5. 定積分的近似計算

矩形法;梯形法。

6. 定積分的應用

平面圖形的面積;已知平行截面面積的立體和旋轉體的體積;平面曲線的弧長;旋轉曲面面積;定積分在物理學等方面的應用。

7. 廣義積分

無限區間上的廣義積分;無界函數的廣義積分。

(七)無窮級數

1. 數項級數

無窮級數的概念;收斂級數的性質。

2. 正項級數

正項級數的收斂準則;比較判別法;比式判別法與根式判別法。

3. 一般項級數

交錯級數;級數的絕對收斂與條件收斂。

4. 冪級數

函數項級數的概念;冪級數及其收斂半徑;冪級數的運算性質。

5. 函數的冪級數展開式

泰勒級數;泰勒中值定理;初等函數的冪級數展開式;近似計算

(八) 空間解析幾何

1. 空間直角坐標系

空間直角坐標系;空間兩點之間的距離。

2. 向量及其線性運算

向量概念;向量的線性運算;向量的坐標與分解。

3. 向量的數量積與向量積

向量的數量積;向量的向量積。

4. 平面與空間直線

平面方程;空間直線方程。

5. 曲面與空間曲線

球面方程;柱面方程;錐面方程;旋轉面方程;橢球面;單葉雙曲面和雙葉雙曲面;橢圓拋物面和雙曲拋物面;空間曲線。

(九) 多元函數微分法及其應用

1. 多元函數

多元函數的概念;二元函數的幾何表示;多元函數的極限;多元函數的連續性。

2. 多元函數的偏導數與全微分

偏導數;高階偏導數;全微分;全微分在近似計算中的應用。

3. 復合函數和隱函數的微分法

復合函數的偏導數;隱函數的微分法。

4. 多元函數微分學的幾何應用

空間曲線的切線與法平面;曲面的切平面與法線。

5. 多元函數的極值

多元函數的極值。

(十) 重積分及其應用

1. 重積分的概念與性質

二重積分的概念;可積性條件與二重積分的性質;三重積分的概念和性質。

2. 二重積分的計算

化二重積分為累次積分;在極坐標系中計算二重積分。

3. 三重積分的計算

化三重積分為累次積分。

4. 重積分的應用

曲面的面積;物體的重心。

(十一) 常微分方程

1. 一階微分方程

微分方程的一般概念;可分離變量型微分方程;齊次型微分方程;一階線性微分方程;一階微分方程應用舉例。

2. 二階微分方程

可降階的微分方程;二階線性微分方程解的性質;二階常系數線性齊次方程的解;二階常系數線性非齊次方程的解。

四、主要參考書

華東師范大學數學系編:《高等數學(上冊)》、《高等數學(下冊)》,華東師范大學出版社1999年2月第一版(2002年6月第四次印刷)。

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